Περιεχόμενο
Σε αυτό το άρθρο: Η κατανόηση του προβλήματος Εισαγωγή μιας επίδειξηςReducing μια επίδειξη14 Αναφορές
Μερικές φορές είναι δύσκολο να αποδειχθεί. Για να επιτευχθεί αυτό, κάποιος πρέπει να εφαρμόσει τόσο τις γνώσεις του σχετικά με τα μαθηματικά όσο και την τεχνογνωσία της γραφής αυτής της επίδειξης.Δυστυχώς, δεν υπάρχει μαγικός τρόπος για να επιτύχουμε χωρίς προσπάθεια και την πρώτη φορά. Πρέπει να έχετε μια σταθερή βάση σε αυτό το υλικό για να τροφοδοτήσετε το σκεπτικό σας με τα σωστά θεωρήματα και ορισμούς. Πρακτική, διαβάστε διαδηλώσεις, αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να μπορέσετε τελικά να γράψετε τον εαυτό σας εξαιρετικά.
στάδια
Μέρος 1 Κατανόηση του προβλήματος
-
Προσδιορίστε την ερώτηση. Το πρώτο σας καθήκον είναι να καθορίσετε τι ακριβώς θα πρέπει να αποδείξετε. Η ερώτηση αυτή θα χρησιμεύσει επίσης ως συμπέρασμα για τη διαδήλωση. Πάρτε χρόνο ταυτόχρονα για να προσδιορίσετε τις υποθέσεις με τις οποίες θα εργαστείτε. Αυτό είναι το σημείο εκκίνησης για την κατανόηση του προβλήματος και την επίλυσή του. -
Δημιουργήστε διαγράμματα. Στα μαθηματικά, όταν θέλετε να κατανοήσετε τις ενδείξεις μιας άσκησης, είναι συχνά χρήσιμο να κάνετε ένα συνοπτικό διάγραμμα. Αυτό είναι ακόμα πιο αληθινό στη γεωμετρία, όπου μπορείτε να απεικονίσετε άμεσα τι προσπαθείτε να αποδείξετε.- Χρησιμοποιήστε τη δήλωση για να κάνετε το διάγραμμα. Κατάλογος γνωστών δεδομένων και άγνωστων στοιχείων.
- Σημειώστε πότε και πότε όλες οι πληροφορίες που μπορούν να έρθουν για να υποστηρίξουν την επίδειξη.
-
Μελέτη. Η μάθηση για να γράψει μια μαθηματική απόδειξη δεν είναι προφανής. Για να σας βοηθήσει, να διαβάσετε και να αναλύσετε τα θεωρήματα που σχετίζονται με αυτό που εργάζεστε για να καταλάβετε πώς κατασκευάζονται.- Πείτε στον εαυτό σας ότι μια διαδήλωση δεν είναι παρά ένα καλό επιχείρημα των οποίων οι δηλώσεις δικαιολογούνται σε κάθε στάδιο. Θα βρείτε πολλά παραδείγματα στα βιβλία και στο διαδίκτυο που μπορούν να χρησιμεύσουν ως μοντέλα.
-
Κάντε ερωτήσεις. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μη διστάσετε να ρωτήσετε τον δάσκαλο ή τους συμμαθητές σας. Μπορεί επίσης να αναρωτιούνται για κάποιους λόγους, μπορείτε να εργαστείτε μαζί. Είναι καλύτερο να ζητάς βοήθεια από το να είσαι μόνος και να ανεβείτε τυφλά ελπίζοντας να επιτύχετε ένα αποτέλεσμα.- Πηγαίνετε να μιλήσετε με τον δάσκαλό σας μετά την τάξη για να φτάσετε στο σωστό δρόμο.
Μέρος 2 Ανακαλύψτε ένα demo
-
Καταλάβετε τι είναι επίδειξη. Πρόκειται για μια σειρά λογικών παραγγελιών που υποστηρίζονται από ορισμούς και θεωρήματα για να αποδείξουν την αλήθεια μιας άλλης δήλωσης. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος να γνωρίζουμε αν ένας συλλογισμός είναι απλώς μαθηματικά.- Το να είσαι σε θέση να γράψεις διαδηλώσεις αναμφισβήτητα μαρτυρεί την βαθιά κατανόησή σου για το πρόβλημα και τις έννοιες που χρησιμοποιείς για να το λύσεις.
- Αυτή η άσκηση σας επιτρέπει επίσης να αντιλαμβάνεστε τα μαθηματικά σε ένα πολύ ενδιαφέρον νέο φως. Ακόμη και σε περιπτώσεις όπου δεν θα μπορέσετε να ολοκληρώσετε επιτυχώς τις διαδηλώσεις σας, η προσπάθεια θα σας βοηθήσει να βελτιώσετε τις γνώσεις σας και να κατανοήσετε την πορεία σας.
-
Εξετάστε το κοινό σας. Δεν πρέπει να ξεχάσετε τι είδους αναγνώστη εργάζεστε και ποιο επίπεδο κατανόησης είναι αυτό. Μια διαδήλωση που προορίζεται για δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό και συλλογιστική σε μαθήματα γυμνασίου δεν γράφεται με τον ίδιο τρόπο.- Πρέπει να γράψετε εξασφαλίζοντας ότι ο αναγνώστης μπορεί να παρακολουθεί την πρόοδό σας με τις γνώσεις που έχει ήδη.
-
Προσδιορίστε τον τύπο επίδειξης. Υπάρχουν διάφορα μοντέλα διαδηλώσεων, θα επιλέξετε ένα σύμφωνα με τις οδηγίες που δίνονται σε εσάς και στον αναγνώστη στον οποίο προορίζεται η άσκηση. Εάν δεν είστε σίγουροι για τη σωστή επιλογή, ζητήστε βοήθεια από τον δάσκαλό σας. Στο γυμνάσιο, δεν αναμένεται πάντοτε να γράφετε μια διαδήλωση στην κλασσική της μορφή.- Μια επίδειξη με τη μορφή ενός πίνακα μπορεί να γίνει με την τοποθέτηση των δηλώσεων της πρώτης στήλης και στη δεύτερη με τα επιχειρήματα που δικαιολογούν αυτές τις δηλώσεις. Συχνά με αυτόν τον τρόπο προχωράμε στη γεωμετρία.
- Στην κλασική του μορφή, η μαθηματική απόδειξη πρέπει να γράφεται με γραμματικά ορθές προτάσεις και χωρίς κανένα σύμβολο. Σε ακαδημαϊκό επίπεδο, αυτό είναι που θα απαιτηθεί.
-
Βοηθήστε τον εαυτό σας με την επίδειξη σε δύο στήλες. Κάνοντας τη συλλογιστική σας σε μορφή πίνακα θα σας επιτρέψει να γνωρίζετε τις κύριες γραμμές της επίδειξης σας πριν τη γραφή της σε κλασική μορφή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα για να οργανώσετε τις ιδέες σας και να σκεφτείτε την ερώτηση. Σχεδιάστε μια γραμμή κατακόρυφα στη μέση του φύλλου σας και στη συνέχεια γράψτε τα γνωστά δεδομένα και όλες τις επιβεβαιώσεις σας προς τα αριστερά. Τον δικαιολογήστε στα δεξιά με τη βοήθεια των σωστών ορισμών και θεωρημάτων.- Ακολουθεί ένα παράδειγμα.
- Οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές. Δεδομένης της δήλωσης.
- Η γωνία ABC είναι επίπεδη. Ορισμός της επίπεδης γωνίας.
- Η γωνία ABC μετρά 180 °. Ορισμός μιας ευθείας γραμμής
- Γωνία Α + γωνία B = γωνία ABC. Ιδιότητα του αθροίσματος των γωνιών.
- Γωνία Α + γωνία Β = 180 °. Αντικατάσταση με μια τιμή.
- Οι γωνίες Α και Β είναι επιπλέον γωνίες. Ορισμός πρόσθετων γωνιών
- C.Q.F.D.
-
Μεταβείτε από το τραπέζι στην τυπική συλλογιστική. Χρησιμοποιήστε τις δύο στήλες σας για να γράψετε την επίδειξη ως γραπτή παράγραφο που δεν πρέπει να έχει πάρα πολλά σύμβολα ή συντμήσεις.- Για παράδειγμα: Τα Α και Β είναι γειτονικές γωνίες. Με την υπόθεση, οι γωνίες Α και Β είναι επιπλέον. Επειδή είναι πρόσθετες και γειτονικές, οι πλευρές των γωνιών Α και Β σχηματίζουν μία ευθεία γραμμή. Ο ορισμός μιας ευθείας γραμμής υποδηλώνει ότι οριοθετεί μια γωνία 180 °. Με βάση τα αξιώματα που αφορούν τα ποσά των γωνιών, μπορούμε να πούμε ότι η προσθήκη των γωνιών Α και Β μας δίνει τη γραμμή ABC. Το άθροισμα των γωνιών Α και Β είναι ίσο με 180 °, επομένως είναι επιπλέον γωνίες. C.Q.F.D.
Μέρος 3 Γράψτε μια επίδειξη
-
Εξοικειωθείτε με το λεξιλόγιο. Θα συνειδητοποιήσετε γρήγορα ότι ορισμένες στροφές προτάσεων επιστρέφουν χωρίς να σταματούν στις διαδηλώσεις. Πρέπει να μάθετε να τα γνωρίζετε και να τα χρησιμοποιείτε με σύνεση για να γράφετε επιτυχώς τις δικές σας διαδηλώσεις.- Οι τύποι του τύπου "εάν το Α είναι αληθινό, τότε το Β είναι αληθινό" σημαίνει ότι πρέπει να αποδείξετε ότι κάθε φορά που το Α είναι αληθές, το B είναι επίσης αναγκαστικά αλήθεια.
- "A είναι αληθές αν και μόνο εάν το Β είναι αληθινό" σημαίνει ότι πρέπει να αποδείξετε ότι το Β και το Α είναι αληθινές και ψευδείς ταυτόχρονα. Επομένως, δείξτε ότι "αν το Α είναι αληθινό, τότε το Β είναι αληθές" και επίσης ότι "εάν το Α είναι ψευδές, τότε το Β είναι ψευδές".
- "Α είναι αληθές μόνο αν το Β είναι αληθινό" είναι μια άλλη διατύπωση που λέει "αν A είναι αληθινό, τότε το Β είναι αληθινό". Είναι λίγο λιγότερο κοινό, αλλά πρέπει ακόμα να το ξέρετε σε περίπτωση που το συναντήσετε.
- Όταν γράφετε την επίδειξη, χρησιμοποιήστε το "εμείς" αντί για το "on".
-
Καταγράψτε τα γνωστά δεδομένα. Κατά το σχεδιασμό μιας επίδειξης, το πρώτο σας καθήκον είναι να προσδιορίσετε και να απαριθμήσετε όλες τις πληροφορίες που παρέχονται από τη δήλωση. Αυτό σας επιτρέπει να κάνετε απογραφή όσων γνωρίζετε και τι πρέπει να γίνει για να φτάσετε στη μαθηματική απόδειξη. Ελέγξτε προσεκτικά το πρόβλημά σας και καταγράψτε οτιδήποτε θεωρείτε χρήσιμο.- Ας δούμε ένα παράδειγμα: δείξτε ότι δύο γειτονικές γωνίες (A και B) είναι πρόσθετες.
- Τι δίνεται: οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές.
- Τι πρέπει να αποδείξετε: οι γωνίες Α και Β είναι επιπλέον.
-
Ορίστε τις μεταβλητές. Μόλις έχετε όλα τα γνωστά δεδομένα μπροστά σας, θα πρέπει να δώσετε τον ορισμό για κάθε μεταβλητή. Για να κάνετε τα πράγματα καθαρά για τον αναγνώστη σας, γράψτε τους ορισμούς αυτούς ως εκκινητές. Εάν δεν το κάνετε αυτό, μπορεί πολύ γρήγορα να χαθείτε στη συλλογιστική σας.- Ποτέ μην χρησιμοποιείτε μεταβλητές που δεν έχουν οριστεί προηγουμένως.
- Στο παράδειγμά μας, οι μεταβλητές θα είναι τα μέτρα των γωνιών Α και Β.
-
Προχωρήστε αντίστροφα. Πολύ συχνά, είναι πολύ πιο εύκολο να αντιμετωπίσετε το πρόβλημα προς την αντίθετη κατεύθυνση. Ξεκινήστε από το τέλος, δηλαδή από τη δήλωση που προσπαθείτε να αποδείξετε και προσπαθήστε να σκεφτείτε τη σειρά των λογικών βημάτων που μπορούν να σας φέρουν πίσω στην αρχή της συλλογιστικής.- Εργαστείτε για το πρώτο και τελευταίο βήμα για να δείτε αν θα μπορούσατε να τα κάνετε παρόμοια. Αυτό βασίζεται στα γνωστά δεδομένα, στους ορισμούς που έχετε μάθει και στις παρόμοιες επιδείξεις που έχετε ήδη βιώσει.
- Ρωτήστε τον εαυτό σας σε κάθε βήμα. "Γιατί είναι έτσι; Και "Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες αυτό θα μπορούσε να είναι ψευδές; Υπάρχουν πολύ σημαντικές ερωτήσεις που πρέπει να ρωτήσετε καθ 'όλη τη λογική εξέλιξή σας.
- Μην ξεχάσετε να βάλετε όλα τα βήματα με τη σωστή σειρά κατά τη διάρκεια της τελικής σύνταξης.
- Ας πάρουμε το παράδειγμά μας: αν A και B είναι επιπλέον γωνίες, αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των μέτρων τους είναι 180 °. Ο συνδυασμός αυτών των δύο γωνιών σχηματίζει τη γραμμή ABC. Γνωρίζετε ότι σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή καθορίζοντας γειτονικές γωνίες. Επειδή ένα τμήμα γραμμής αντιστοιχεί επίσης σε μια επίπεδη γωνία, η μέτρηση είναι 180 °. Δεδομένου ότι η γωνία από τη γραμμή είναι 180 °, μπορείτε να αντικαταστήσετε την ένδειξη ότι αν τα προσθέσουμε, οι γωνίες Α και Β είναι επίσης 180 °.
-
Παραγγείλετε τα βήματα σας λογικά. Ξεκινήστε από την αρχή και προχωρήστε προς το τέλος. Παρόλο που είναι πολύ πρακτικό να σκέφτεστε προς τα πίσω όταν ψάχνετε για τη λύση, κατά τη στιγμή της σύνταξης της επίδειξης, πρέπει να είστε προσεκτικοί για να επαναφέρετε τα πάντα στη σωστή σειρά, με το συμπέρασμα στο τέλος. Η συλλογιστική σας πρέπει να πραγματοποιείται βήμα προς βήμα, με αιτιολόγηση για κάθε δήλωση, έτσι ώστε ο αναγνώστης να μην έχει καμία ευκαιρία ανά πάσα στιγμή να αμφισβητήσει την εγκυρότητα της επίδειξης σας.- Ξεκινήστε με τις παραδοχές στις οποίες εργάζεστε.
- Χρησιμοποιήστε απλά και προφανή βήματα ώστε ο αναγνώστης να μην αναρωτιέται ποτέ πώς πήγατε από το ένα βήμα στο άλλο.
- Μην διστάσετε να κάνετε πολλά σχέδια της επίδειξης σας. Εκτελέστε όσες δοκιμές χρειάζεστε για να αναδιατάξετε τα βήματα έως ότου επιτευχθεί η πιο λογική σειρά.
- Ξεκινώντας από την αρχή, αυτό θα δώσει το παρακάτω παράδειγμα.
- Οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές.
- Η γωνία ABC είναι επίπεδη.
- Η γωνία ABC μετρά 180 °.
- Γωνία Α + γωνία B = γωνία ABC.
- Γωνία Α + γωνία Β = 180 °.
- Συνεπώς, οι γωνίες Α και Β είναι πρόσθετες.
-
Αποφύγετε τα βέλη και τις συντομεύσεις. Μέχρι τη στιγμή που θα φτιάξετε το σχέδιο, έχετε κάθε δικαίωμα να χρησιμοποιήσετε σύμβολα και να μην γράψετε τα πάντα στο σύνολό τους. Από την άλλη πλευρά, στην οριστική εκδοχή, αυτά τα στοιχεία είναι πιθανό να βλάψουν την κατανόηση του αναγνώστη σας, οπότε είναι προτιμότερο να μην τα χρησιμοποιήσετε και να τα αντικαταστήσετε με λόγια σύνδεσης όπως "έτσι" ή "κατά συνέπεια".- Η μόνη αξιοσημείωτη εξαίρεση σε αυτόν τον κανόνα είναι η χρήση του ακρωνυμίου C.Q.F.D (για "τι να αποδείξει") στο τέλος του έτους.
-
Δικαιολογήστε. Όλες οι επιβεβαιώσεις σας πρέπει να υποστηρίζονται από ορισμούς, θεωρήματα ή μαθηματικούς νόμους. Μόνο τότε θα είναι έγκυρη η επίδειξή σας. Κανένα επιχείρημα δεν είναι έγκυρο αν δεν συνοδεύεται από ορισμό. Για να δείτε τι μπορεί να δώσει συγκεκριμένα, μη διστάσετε να αναφερθώ σε διαδηλώσεις κοντά σε εκείνες στις οποίες εργάζεστε και οι οποίες θα χρησιμεύσουν ως παραδείγματα.- Δοκιμάστε την επίδειξη προσπαθώντας να την εφαρμόσετε σε μια συγκεκριμένη περίπτωση για την οποία θα είναι κανονικά ψευδής. Εάν δεν είναι λανθασμένο ότι η συγκεκριμένη περίπτωση υποτίθεται ότι αποκλείεται από τους όρους της επίδειξης, πρέπει να επανεξετάσετε το σκεπτικό σας.
- Στη γεωμετρία, οι επιδείξεις παρουσιάζονται πολύ συχνά ως ένας πίνακας δύο στηλών, με μία στήλη για το επιχείρημα και μία για την αιτιολόγηση. Ωστόσο, η συνήθης μορφή της κλασικής επίδειξης είναι μια παράγραφο που γράφεται με πλήρεις προτάσεις.
-
Συμπληρώστε από το C.Q.F.D. Η τελευταία πρόταση της επίδειξης πρέπει να είναι αυτό που προσπαθούσατε να δείξετε. Μόλις το γράψετε, τερματίστε με το ακρωνύμιο C.Q.F.D ή δημιουργήστε ένα μικρό έγχρωμο τετράγωνο για να δηλώσετε ότι η δουλειά σας είναι πλήρης.- Ο τύπος από τα λατινικά Q.E.D. (quod erat demonstrandum), που επίσης σημαίνει "τι να αποδείξει".
- Εάν δεν είστε βέβαιοι εάν η επίδειξη σας είναι πειστική, δοκιμάστε να γράψετε μερικές ακόμη προτάσεις για να εξηγήσετε πώς ήρθατε στο συμπέρασμα αυτό και γιατί έχει νόημα για εσάς.