Πώς να υπολογίσουμε ένα τριωνικό

Περιεχόμενο

• στάδια
• Μέρος 1 Μαθαίνοντας να παραγοντοποιήσουμε x + bx + c
• Μέρος 2 Μαθαίνοντας να παράγουμε πιο περίπλοκα τρινάμια
• Μέρος 3 Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις τριωνυμοποιήσεων

Σε αυτό το άρθρο: Μάθηση να παραγοντοποιήσουμε x2 + bx + Μάθετε να παράγουμε πιο περίπλοκα τρινόμαυρα Μερικές ειδικές περιπτώσεις τριομηχανικών παραγοντοποιήσεων6 Αναφορές

Όπως υποδηλώνει το όνομά του, ένα τρινωμικό είναι μια μαθηματική έκφραση που παίρνει τη μορφή ενός συνόλου τριών όρων. Τις περισσότερες φορές αρχίζουμε να μελετάμε τα τριωνύμια του δεύτερου βαθμού που εγγραφούν ως εξής: ax + bx + c. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να παραγοντοποιηθούν ένα τριωνικό του δεύτερου βαθμού. Με πρακτική, θα φτάσετε εκεί χωρίς δυσκολία. Οι μέθοδοι που πρόκειται να δούμε δεν ισχύουν για τα τριωνύμια υψηλότερου βαθμού (με x ή x). Ωστόσο, με την επεξεργασία αυτών των τελευταίων τριωνυμικών, μπορεί κάποιος να πέσει πίσω στα τριωνύμια του δεύτερου βαθμού. Βλέπουμε όλα αυτά λεπτομερώς.

στάδια

Μέρος 1 Μαθαίνοντας να παραγοντοποιήσουμε x + bx + c

1. 
   

   
   Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο SIDS. Μπορεί να το ξέρετε, αλλά ας θυμηθούμε τι είναι το θέμα. Όταν πρέπει να αναπτύξετε ένα προϊόν από binomials - (x + 2) (x + 4), για παράδειγμα - θα πρέπει να συνοψίσετε τα προϊόντα των διαφόρων όρων με τη σειρά "First, External, Internal, Last". Αναλυτικά, αυτό δίνει:
   • πολλαπλασιάζονται πρώτος μεταξύ τους:x+2)(x+4) = x + __
   • πολλαπλασιάστε τους όρους εξωτερικός μεταξύ τους: (x2) (χ +4) = χ + 4x + __
   • πολλαπλασιάστε τους όρους εσωτερικός μεταξύ τους: (x +2)(x+4) = χ + 4χ + 2x + __
   • πολλαπλασιάζονται αργότερο όροι μεταξύ τους: (x +2) (Χ +4) = χ + 4χ + 2χ + 8
   • Τερματίστε απλοποιώντας: x + 4x + 2x + 8 = χ + 6x + 8

2. 
   

   
   
   
   Καταλάβετε ποιο συντελεστή είναι. Όταν αναπτύσσετε το προϊόν των δύο ζευγών, παίρνετε ένα τριμηνιότυπο της φόρμας: έχειx +βx +γ, a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί. Όταν κάνουμε την αντίστροφη λειτουργία, πηγαίνουμε από το τριωνυμικό στο διωνυμικό προϊόν, λέμε ότι εμείς factorises.
   • Για λόγους σαφήνειας, οι όροι ενός τρινωμικού πρέπει να ταξινομούνται κατά σειρά μείωσης της ισχύος. Έτσι, αν σας δώσουμε: 3x - 10 + χ, πρέπει να ξαναγράψετε με τη σειρά: x + 3x - 10.
   • Ο μεγαλύτερος εκθέτης είναι 2 (x), μιλάμε για την τριωνική "δεύτερης βαθμίδας".

3. 
   

   
   Στην αρχή της παραγοντοποίησης, βάζουμε τη μορφή προϊόντων των διωνυμίων. Γράψτε: (__ __)(__ __). Θα γεμίσουμε σταδιακά τους ελεύθερους χώρους, καθώς και τα σημεία.
   • Προς το παρόν δεν βάζουμε κανένα σημάδι (+ ή -) μεταξύ των δύο όρων των διωνυμίων.

4. 
   

   
   
   
   Πρέπει να ξεκινήσετε βρίσκοντας τους πρώτους όρους κάθε ζεύγους. Εάν το τρινωμικό ξεκινά με το x, οι δύο πρώτοι όροι των ζευγαριών θα είναι αναγκαστικά x και xαπό το x φορές x = x.
   • Το αρχικό τρινωμικό μας γεγονός είναι: x + 3x - 10 και αφού δεν υπάρχει συντελεστής στο x, μπορούμε αμέσως να γράψουμε:
   • (χ __) (χ __)
   • Θα δούμε αργότερα πώς κάποιος προχωράει όταν ο συντελεστής του x είναι διαφορετικός από 1, όπως 6x ή -x. Προς το παρόν, μένουμε με αυτήν την απλή υπόθεση.

5. 
   

   
   Προσπαθήστε να μαντέψετε τι θα είναι οι τελευταίοι όροι των ζευγαριών. Ελέγξτε πώς, με τη μέθοδο PEID, έχουν αναπτυχθεί οι τελευταίοι όροι των διωνυμίων. Πρέπει τώρα να κάνουμε το αντίθετο. Τότε πολλαπλασιάσαμε τους τελευταίους δύο όρους για να αποκτήσουμε τον τελευταίο όρο ("σταθερό") του τρινωμικού. Έτσι, θα πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς οι οποίοι, πολλαπλασιαζόμενοι μεταξύ τους, θα σας δώσουν τη σταθερά του τρινωμικού.
   • Στο παράδειγμά μας: x + 3x - 10, η σταθερά είναι -10.
   • Ποιοι είναι οι παράγοντες -10; Ποιες είναι οι δύο αριθμοί που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους, θα σας δώσουν -10;
   • Ακολουθούν όλες οι πιθανές περιπτώσεις: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 και 2 x -5. Γράψτε τους συνδυασμούς αυτούς κάπου για να θυμηθείτε.
   • Προς το παρόν, το διωνυμικό σας προϊόν παραμένει αμετάβλητο. Πάντα μοιάζει με: (χ __) (χ __).

6. 
   

   
   Ελέγξτε τους διαφορετικούς συνδυασμούς. Από τη σταθερά, καταφέρατε να προσδιορίσετε μερικούς συνδυασμούς παραγόντων, τους οποίους πρέπει να εργαστείτε (εάν το τρινωμικό είναι αναγώγιμο). Σε αυτό το σημείο, δεν υπάρχουν άλλες λύσεις παρά η δοκιμή κάθε συνδυασμού για να διαπιστωθεί εάν ένα από αυτά ικανοποιεί το τρινωμικό. Για παράδειγμα:
   • Στο παράδειγμά μας, το άθροισμα του προϊόντος "Εξωτερικό" και του προϊόντος "Εσωτερικό" πρέπει να είναι 3x (λαμβάνεται από το x + 3x - 1)
   • Πάρτε τον συνδυασμό των -1 και 10: (x - 1) (x + 10). Το άθροισμα του προϊόντος "Εξωτερικό" και το προϊόν "Εσωτερικό" δίνει: 10x - x = 9x. Δεν λειτουργεί!
   • Πάρτε τον συνδυασμό 1 και -10: (x + 1) (x - 10). Το άθροισμα του προϊόντος "Εξωτερικό" και του προϊόντος "Εσωτερικό" δίνει: -10x + x = -9x. Εξακολουθεί να μην πάει! Θα παρατηρήσετε διαδοχικά ότι αυτός ο τελευταίος έλεγχος ήταν άχρηστος. Πράγματι, το ζευγάρι (-1.10) δίνει 9x και δίνει το ζευγάρι (1, -10) -9x. Έτσι δοκιμάστε μόνο ένα ζευγάρι.
   • Πάρτε τον συνδυασμό 2 και 5: (x - 2) (x + 5). Το άθροισμα του προϊόντος "Εξωτερικό" και το προϊόν "Εσωτερικό" δίνει: 5x - 2x = 3x. Eureka! Η απάντηση είναι: (χ - 2) (χ + 5).
   • Στην περίπτωση τρινωμάχων τόσο απλή όσο αυτή (ξεκινώντας με το x), μπορούμε να κάνουμε μικρότερη. Απλά προσθέστε τους δύο πιθανούς παράγοντες, προσθέστε το "x" στο τέλος και θα δείτε αμέσως εάν είναι ο σωστός συνδυασμός. Εκεί κάνετε: -2 + 5 → 3x. Εάν το x είναι πλαισιωμένο από έναν συντελεστή, τότε η μέθοδος δεν λειτουργεί, γι 'αυτό είναι καλό να θυμηθούμε τη λεπτομερή μέθοδο.

Μέρος 2 Μαθαίνοντας να παράγουμε πιο περίπλοκα τρινάμια

1. 
   

   
   Ο παράγοντας τρινωμάκι σας σε ένα απλούστερο trinomial. Υποθέστε ότι πρέπει να παραγοντοποιήσετε το ακόλουθο τρινωμικό: 3χ + 9χ - 30. Προσπαθήστε να δείτε αν δεν υπάρχει ένας διαχωριστής κοινός και στους τρεις όρους. Στη συνέχεια, παίρνουμε το μεγαλύτερο (αν υπάρχουν), από το οποίο το όνομα του "Μεγάλος Κοινός διαιρέτης" (ή PGCD). Στο τρινωμικό μας θα είναι 3. Ας δούμε λεπτομερώς:
   • 3x = (3) (χ)
   • 9x = (3) (3χ)
   • -30 = (3)(-10)
   • Έτσι, 3x + 9x - 30 = (3) (χ + 3χ - 10). Επομένως, είναι εύκολο να παραγοντοποιείται η δεύτερη παρένθεση σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφηκε παραπάνω. Λαμβάνουμε ως εξής: (3) (χ-2) (χ + 5). Δεν πρέπει να ξεχνάμε 3 σε παράγοντα.

2. 
   

   
   Μερικές φορές δεν μπορούμε να υπολογίσουμε πραγματικούς αριθμούς, αλλά ποσότητες με άγνωστα. Έτσι, μπορούμε να υπολογίσουμε τα "x", "y" ή "xy". Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα:
   • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(χ + 7χ + 12)
   • x + 11x - 26x = (Χ)(χ + 11χ - 26)
   • -x + 6x-9 = (-1)(χ - 6χ + 9)
   • Στη συνέχεια, φυσικά, παράγοντας το νέο trinomial όπως είδαμε προηγουμένως. Πραγματοποιήστε έλεγχο για να δείτε αν δεν υπάρχουν σφάλματα. Πρακτική με τις ασκήσεις που προτείνονται στο τέλος αυτού του άρθρου.

3. 
   

   
   Προσπαθήστε να παραγοντοποιήσετε τα τριωνύμια με ένα x που πλαισιώνεται από έναν συντελεστή. Κάποια τριωνύμια του δεύτερου βαθμού είναι πιο δύσκολα να παραγοντοποιηθούν, η εικόνα των 3x + 10x + 8. Θα δούμε πώς θα προχωρήσουμε, τότε τι μπορείτε να εκπαιδεύσετε με τις ασκήσεις που προτείνονται στο τέλος του άρθρου. Εδώ είναι πώς λειτουργούμε:
   • Ρωτήστε το προϊόν των ζευγαριών: (__ __)(__ __)
   • Κάθε ένας από τους δύο "πρώτους" όρους πρέπει να έχει ένα "x" και το προϊόν και των δύο πρέπει να είναι 3x. Υπάρχει μόνο μία δυνατότητα: (3χ __) (χ __), 3 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός.
   • Βρείτε τους παράγοντες του 8. Υπάρχουν δύο δυνατότητες: 1 x 8 ή 2 x 4.
   • Πάρτε αυτούς τους συνδυασμούς για να βρείτε τις σταθερές των ζευγαριών. Σημαντικό σημείο: καθώς το άγνωστο "x" έχει διαφορετικούς συντελεστές, η σειρά του συνδυασμού είναι σημαντική. Πρέπει να βρείτε το τέλος της μέσης εδώ, 10x. Εδώ είναι οι διάφοροι συνδυασμοί:
   • (3χ + 1) (χ + 8) - 24χ + χ = 25χ όχι!
   • (3χ + 8) (χ + 1) + 3χ + 8χ = 11χ όχι!
   • (3χ + 2) (χ + 4) + 12χ + 2χ = 14χ όχι!
   • (3χ + 4) (χ + 2) - 6χ + 4χ = 10x ναι! Αυτή είναι η σωστή παραγοντοποίηση.

4. 
   

   
   Παρουσία ενός άγνωστου που έχει ισχύ μεγαλύτερη από 2, μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια άγνωστη αντικατάσταση. Μια μέρα, σίγουρα θα πρέπει να παραγοντοποιήσετε ένα τρινωμικό του τέταρτου (x) ή του πέμπτου (x) βαθμού. Ο στόχος είναι να επαναφέρουμε αυτό το τρινωμικό σε κάτι γνωστό, δηλαδή ένα τρινομιτικό του δεύτερου βαθμού, προκειμένου να παραγοντοποιηθούν χωρίς πρόβλημα. Για παράδειγμα:
   • x + 13χ + 36χ
   • = (χ) (χ + 13χ + 36)
   • Ανακαλύψτε ένα νέο άγνωστο που θα απλοποιήσει το πρόβλημα. Θα θέσουμε εδώ ότι Y = x. Βάζουμε ένα κεφάλαιο Y για να θυμόμαστε ότι είναι υποκατάστατο. Το τρινωμικό γίνεται τότε:
   • = (x) (Y + 13Y + 36): παραγοντοποιούμε όπως στο τμήμα 1.
   • = (χ) (Υ + 9) (Υ + 4). Είναι καιρός να αντικαταστήσουμε την άγνωστη υποκατάσταση με την πραγματική της αξία:
   • = (χ) (χ + 9) (χ + 4)
   • = (x + 3) (χ - 3) (χ + 2) (χ - 2)

Μέρος 3 Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις τριωνυμοποιήσεων

1. 
   

   
   Ψάξτε για πιθανούς πρώτους αριθμούς. Δείτε αν η σταθερά και / ή ο συντελεστής του πρώτου ή του τρίτου όρου δεν θα είναι πρωταρχικοί αριθμοί. Θυμηθείτε ότι ένας αριθμός λέγεται ότι είναι "πρωταρχικός" όταν είναι μόνο διαιρούμενος από 1 ή τον ίδιο. Ξεκινώντας από αυτόν τον ορισμό, αν βρούμε έναν πρωταρχικό αριθμό στις θέσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω, το τρινωμικό μπορεί μόνο να παραγάγει τη μορφή ενός ενιαίου προϊόντος των διωνυμίων.
   • Για παράδειγμα, σε x + 6x + 5, η σταθερά 5 είναι ένας πρώτος αριθμός, οπότε το διωνυμικό προϊόν θα έχει τη μορφή: (__ 5) (__ 1)
   • Σε 3x + 10x + 8, ο συντελεστής 3 είναι ένας πρώτος αριθμός, οπότε το προϊόν των διωνυμίων θα έχει τη μορφή: (3x __) (x __).
   • Τέλος, σε 3x + 4x + 1, 3 και 1 είναι οι πρώτοι αριθμοί, η μόνη δυνατή λύση είναι: (3x + 1) (x + 1). Ωστόσο, ελέγξτε πάντα τον συνδυασμό. Συμβαίνει ότι μερικά τρινόμαυρα δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη. Έτσι, 3x + 100x + 1 δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη (λέμε ότι είναι "μη αναγωγική"). Με 3 και 1, δεν θα πάρετε ποτέ 100.

2. 
   

   
   Κάποιος πρέπει πάντα να σκεφτεί την περίπτωση ενός τρινωμικού που θα ήταν η ανάπτυξη μιας αξιοσημείωτης ταυτότητας, ενός τέλειου τετραγώνου για να πάρει μόνο αυτό το παράδειγμα. Με τέλειο τετράγωνο εννοούμε το προϊόν δύο απόλυτα πανομοιότυπων ζευγών: (x + 1) (x + 1) που γράφουμε (x + 1). Εδώ είναι μερικά από αυτά τα τέλεια τετράγωνα:
   • χ + 2χ + 1 = (χ + 1) και χ - 2χ + 1 = (χ - 1)
   • x + 4x + 4 = (χ + 2) και χ - 4χ + 4 = (χ - 2)
   • x + 6x + 9 = (x + 3) και x - 6x + 9 = (χ - 3)
   • Μια τριωνική έχειx + βx + γ είναι η ανάπτυξη ενός τέλειου τετραγώνου αν έχει και γ είναι ίδια θετικά τετράγωνα (όπως 1, 4, 9, 16, 25 ...) και αν β (θετικό ή αρνητικό) είναι ίσο με 2 (√a x √c) = 2 √ac.

3. 
   

   
   Δείτε αν είναι δυνατόν να παραγοντοποιηθούν. Πράγματι, το iI είναι τρινωμικά που δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη. Εάν αγωνίζεσθε να φανταστείτε ένα τρινωμικό της δεύτερης κανονικής μορφής ax + bx + c, επειδή δεν υπάρχουν προφανείς ρίζες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διάκρισης (Δ). Η τελευταία υπολογίζεται ως εξής: Δ = √b - 4ac. Αν Δ <0, τότε δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη το τρινωμικό.
   • Για τα τρινόμαυρα που δεν είναι δευτερεύοντα βαθμό, χρησιμοποιήστε το κριτήριο Eisenstein που εξηγείται στην ενότητα "Συμβουλές".