Η Γνώση

Πώς να υπολογίσουμε ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού (εξίσωση του δεύτερου βαθμού)

Posted on
Συγγραφέας: Monica Porter
Ημερομηνία Δημιουργίας: 17 Μάρτιος 2021
Ημερομηνία Ενημέρωσης: 1 Ιούλιος 2024
Anonim
3η γυμν 2,2 Εξισώσεις δεύτερου βαθμου (πρωτο μερος)
Βίντεο: 3η γυμν 2,2 Εξισώσεις δεύτερου βαθμου (πρωτο μερος)

Περιεχόμενο

Σε αυτό το άρθρο: Προχωρήστε από δοκιμή και errorProcede από την αποσύνθεσηThe "τριπλό παιχνίδι" Διαφορά των δύο τετραγώνωνΧρησιμοποιήστε το τετραγωνικό σχήμα Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή

Ένα πολυώνυμο αποτελείται από μια μεταβλητή (x) που ανυψώνεται σε μια ορισμένη δύναμη που ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου και αρκετούς άλλους όρους χαμηλότερων βαθμών ή / και αρκετές άλλες σταθερές. Για να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού (που ονομάζεται επίσης "τετραγωνική εξίσωση") σημαίνει να μειώσουμε την αρχική έκφραση σε ένα προϊόν εκφράσεων μικρότερων βαθμών που μπορούν στη συνέχεια να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο. Αυτή η γνώση είναι μέρος του μαθήματος γυμνασίου και περισσότερο, οπότε αυτό το άρθρο μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθεί εάν δεν έχετε ακόμα το απαιτούμενο επίπεδο μαθηματικών.


στάδια

Για να αρχίσετε



  1. Γράψτε την έκφρασή σας. Η τυποποιημένη μορφή μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι:

    άξονα + bx + c = 0
    Ξεκινήστε με την οργάνωση των όρων της εξίσωσης σας σύμφωνα με τη σειρά των εξουσιών, από το μεγαλύτερο έως το μικρότερο, όπως στην τυποποιημένη μορφή. Πάρτε για παράδειγμα:

    6 + 6χ + 13χ = 0
    Θα αναδιατάξουμε αυτήν την έκφραση για να διευκολύνουμε το έργο με απλά μετακίνηση των όρων:

    6χ + 13χ + 6 = 0.



  2. Βρείτε τη μορφοποιημένη μορφή χρησιμοποιώντας μία από τις μεθόδους που εξηγούνται παρακάτω. Η παραγοντοποίηση θα δώσει δύο συντομότερες εκφράσεις που θα δώσουν το αρχικό πολυώνυμο αν πολλαπλασιάσουμε το ένα με το άλλο:

    6χ + 13χ + 6 = (2χ + 3) (3χ + 2)
    Σε αυτό το παράδειγμα, (2x + 2) και (3x + 2) είναι παραγόντων της αρχικής έκφρασης, 6x + 13x + 6.




  3. Ελέγξτε την εργασία σας! Πολλαπλασιάστε τους παράγοντες που έχετε εντοπίσει. Στη συνέχεια, συνδυάστε τους παρόμοιους όρους και θα τελειώσετε. Ξεκινήστε με:

    (2χ + 3) (3χ + 2)
    Ας αρχίσουμε να δοκιμάζουμε αυτή την έκφραση πολλαπλασιάζοντας τους όρους των δύο εκφράσεων για να πάρουμε:

    6χ + 4χ + 9χ + 6
    Από εκεί, μπορούμε να προσθέσουμε 4x και 9x επειδή είναι όροι του ίδιου βαθμού. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι οι παράγοντες μας είναι σωστοί διότι εμπλουτίζουμε καλά την έκφραση της αναχώρησης:

    6χ + 13χ + 6.

Μέθοδος 1 Συνεχίστε με δοκιμές και λάθη

Εάν πρόκειται για ένα αρκετά απλό πολυώνυμο, θα πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε την αποσύνθεση του ως παράγοντα προϊόν με μια ματιά. Για παράδειγμα, πολλοί μαθηματικοί είναι σε θέση να δουν αυτή την έκφραση 4χ + 4χ + 1 δίνει τους παράγοντες (2x + 1) και (2x + 1) με συνήθεια και με εμπειρία (προφανώς, αυτό δεν είναι τόσο απλό στην περίπτωση πολύπλοκων πολυωνύμων). Για αυτό το παράδειγμα, ας πάρουμε μια λιγότερο κοινή έκφραση:


3χ + 2χ - 8

.



  1. Δημιουργήστε μια λίστα συντελεστών συντελεστών έχει και γ. Χρησιμοποιώντας την έκφραση της φόρμας άξονα + bx + c = 0, προσδιορίστε τους συντελεστές έχει και γ και απαριθμήστε τους αντίστοιχους παράγοντες. Για: 3x + 2x - 8, αυτό δίνει:

    a = 3 και έχει μόνο ένα ζεύγος παραγόντων: 1 * 3
    c = -8 και τέσσερα ζεύγη παραγόντων: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 και -1 * 8.



  2. Γράψτε στο κομμάτι χαρτί σας δύο ζεύγη παρενθέσεων με χώρο για να γράψετε μέσα σε αυτά. Θα εισαγάγετε τις σταθερές για κάθε έκφραση στον παρεχόμενο χώρο:

    (x) (χ).



  3. Πριν από το x, γράψτε ένα ζεύγος πιθανών παραγόντων για το συντελεστή έχει. Για τον συντελεστή έχει στο παράδειγμά μας, 3x, υπάρχει μόνο μία δυνατότητα:

    (3χ) (1χ).



  4. Στη συνέχεια, συμπληρώστε τους δύο εναπομένοντες κενούς χώρους με ένα ζεύγος παραγόντων για το συντελεστή γ. Πάρτε για παράδειγμα 8 και 1. Τα γράψτε κάτω:

    (3x8) (X1).



  5. Αποφασίστε τώρα το σημείο (περισσότερο ή μείον) για να τοποθετήσετε μεταξύ του x και του αριθμού που τοποθετήσατε μετά από αυτόν. Σύμφωνα με το σημάδι της αρχικής έκφρασης, είναι δυνατόν να βρεθούν τα σημάδια των σταθερών. κλήση h και k τις σταθερές των παραγόντων μας:

    Αν το άξονα + bx + c τότε (x + h) (x + k)
    Αν τα άξονα - bx - c ή ax + bx - c τότε (x - h) (x + k)
    Αν η ax - bx + c τότε (x - h) (x - k)
    Στο παράδειγμα μας, 3x + 2x - 8, τα σήματα πρέπει να τοποθετηθούν με τον ακόλουθο τρόπο: (x - h) (x + k), που μας δίνει τους ακόλουθους δύο παράγοντες:

    (3χ + 8) και (χ - 1).



  6. Ελέγξτε τη φόρμα σας, αναβαθμίζοντας την. Μια πρώτη γρήγορη δοκιμή είναι να ελέγξετε αν ο μεσοπρόθεσμος όρος έχει τη σωστή τιμή. Εάν το x δεν είναι καλό, τότε ίσως έχετε επιλέξει λάθος ζεύγος παραγόντων για τον συντελεστή γ. Ας δούμε τα αποτελέσματά μας:

    (3χ + 8) (χ - 1)
    Κάνοντας έναν πολλαπλασιασμό, παίρνουμε:

    3x - 3x + 8x - 8
    Προσθέτοντας τους παρόμοιους όρους (-3x) και (8x) για να απλοποιήσουμε αυτή την έκφραση, αποκτάμε:

    3χ - 3χ + 8χ - 8 = 3χ + 5χ - 8
    Τώρα γνωρίζουμε ότι πιθανώς εντοπίσαμε τους λανθασμένους παράγοντες:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Εάν είναι απαραίτητο, ανταλλάξτε την επιλογή των παραγόντων. Στο παράδειγμά μας, ας προσπαθήσουμε 2 και 4 αντί 1 και 8:

    (3χ + 2) (χ - 4)
    Τώρα ο συντελεστής μας γ είναι -8, αλλά οι πολλαπλασιασμοί (3x * -4) και (2 * x) δίνουν -12x και 2x, οι οποίες επιπλέον δεν δίνουν πάντα την αρχική τιμή β, δηλαδή + 2χ.

    -12χ + 2χ = 10χ
    10x ≠ 2x.



  8. Εάν είναι απαραίτητο, αντιστρέψτε τη σειρά. Αντιστρέψουμε στο παράδειγμά μας τον τόπο των 2 και 4:

    (3χ + 4) (χ - 2)
    Τώρα ο συντελεστής γ είναι πάντα καλό, αλλά οι συντελεστές των όρων στο x αξίζουν αυτή τη φορά -6x και 4x. Μόλις προστεθεί, αυτό δίνει:

    -6x + 4x = -2χ
    2x ≠ -2x Είμαστε πολύ κοντά στην αρχική τιμή του 2x που προσπαθούμε να βρούμε, αλλά το σημείο δεν είναι καλό.



  9. Ελέγξτε ξανά τα σήματα αν είναι απαραίτητο. Θα διατηρήσουμε τώρα την ίδια σειρά, αλλά θα ανταλλάξουμε τα σημάδια:

    (3χ-4) (χ + 2)
    Ο συντελεστής πριν γ είναι πάντα καλό, και οι όροι στο x αξίζουν τώρα (6x) και (-4x). Δεδομένου ότι:

    6χ - 4χ = 2χ
    2x = 2x Έτσι παίρνουμε το 2x που είχαμε αρχικά. Επομένως, ίσως βρήκαμε τους σωστούς παράγοντες.

Μέθοδος 2 Συνεχίστε με αποσύνθεση

Αυτή η μέθοδος θα μας επιτρέψει να εντοπίσουμε όλους τους πιθανούς παράγοντες για την απόκτηση των συντελεστών έχει και γ και να τα χρησιμοποιήσετε για να προσδιορίσετε ποιοι παράγοντες είναι οι σωστοί. Εάν οι αριθμοί είναι πολύ μεγάλοι ή οι άλλες μέθοδοι δοκιμής και σφάλματος φαίνονται υπερβολικά μεγάλες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο. Ακολουθήστε το ακόλουθο παράδειγμα:

6χ + 13χ + 6

.



  1. Πολλαπλασιάστε τον συντελεστή έχει με τον συντελεστή γ. Στο παράδειγμά μας, έχει είναι ίσο με 6 και γ είναι επίσης ίση με 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Βρείτε τον συντελεστή β με την παραγοντοποίηση και στη συνέχεια τον έλεγχο των παραγόντων που έχουν ληφθεί. Ψάχνουμε για δύο αριθμούς που είναι παράγοντες του προϊόντος έχει * γ που έχουμε εντοπίσει και του οποίου το άθροισμα αξίζει την τιμή του συντελεστή "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Εισάγετε τους δύο αριθμούς που μόλις πήρατε στην εξίσωση σας. τοποθετήστε τα μπροστά από το x, έτσι ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με το συντελεστή β. Ας πάρουμε τα γράμματα k και h για να αντιπροσωπεύσει τους δύο αριθμούς που ελήφθησαν, 4 και 9:

    άξονα + kx + hx + c
    6χ + 4χ + 9χ + 6.



  4. Αποφασίστε το πολυώνυμό σας με την ομαδοποίηση. Οργανώστε την εξίσωση έτσι ώστε να βρεθεί ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των δύο πρώτων όρων και ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των δύο τελευταίων όρων. Στη συνέχεια, θα πρέπει να λάβετε ένα σύνολο δύο ταυτόσημων μορφών. Συγκεντρώστε τους δύο συντελεστές μαζί και τοποθετήστε τις σε παρενθέσεις μπροστά από τη μορφή σας. τότε παίρνετε τους δύο παράγοντες σας:

    6χ + 4χ + 9χ + 6
    2x (3χ + 2) + 3 (3χ + 2)
    (2χ + 3) (3χ + 2).

Μέθοδος 3 Το "τριπλό παιχνίδι"

Αυτή η μέθοδος είναι πολύ παρόμοια με την προηγούμενη. Αυτό συνίσταται στην εξέταση των πιθανών παραγόντων για τα προϊόντα των συντελεστών έχει και γ, στη συνέχεια να τα χρησιμοποιήσετε για να βρείτε την αξία του β. Πάρτε για παράδειγμα την ακόλουθη εξίσωση:

8χ + 10χ + 2



  1. Πολλαπλασιάστε τον συντελεστή έχει με τον συντελεστή γ. Όπως και με τη μέθοδο αποσύνθεσης, αυτό θα μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε τους πιθανούς υποψηφίους για το συντελεστή β. Στο παράδειγμά μας, έχει είναι ίσο με 8 και γ αξίζει 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Βρείτε τους δύο αριθμούς των οποίων το προϊόν είναι ο αριθμός που βρέθηκε προηγουμένως (16) και του οποίου το άθροισμα δίδει τον συντελεστή "b". Αυτό το βήμα είναι ίδιο με αυτό της μεθόδου αποσύνθεσης - δηλαδή, δοκιμάζουμε και απορρίπτουμε υποψηφίους για σταθερές. Το προϊόν των συντελεστών έχει και γ είναι ίσο με 16, και ο συντελεστής γ είναι ίσο με 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Πάρτε αυτούς τους δύο αριθμούς και αντικαταστήστε τους στη φόρμουλα "τριπλή αναπαραγωγή". Πάρτε τους δύο αριθμούς από το προηγούμενο βήμα - ας τις καλέσουμε h και k - και να τα εισαγάγετε στην ακόλουθη έκφραση:

    ((ά§ + η) (ά§ + κ)) / α

    Στη συνέχεια λαμβάνουμε:

    ((8χ + 8) (8χ + 2)) / 8.



  4. Βρείτε ποια από τις παρενθέσεις του αριθμητή διαιρείται με το συντελεστή έχει. Σε αυτό το παράδειγμα, δοκιμάζουμε εάν το (8x + 8) ή (8x + 2) διαιρείται με 8. (8x + 8) διαιρείται με 8, τότε θα διαιρέσουμε αυτή την έκφραση έχει και αφήστε την άλλη έκφραση όπως είναι.

    (8χ + 8) = 8 (χ + 1)
    Η έκφραση που κρατάμε εδώ είναι εκείνη που παραμένει μετά τη διαίρεση από τον συντελεστή έχει : (χ + 1).



  5. Βρείτε - εάν υπάρχει - ένα μεγαλύτερο κοινό παράγοντα και στις δύο παρενθέσεις. Στο παράδειγμά μας, η δεύτερη έκφραση έχει μεγαλύτερο κοινό συντελεστή 2, δεδομένου ότι 8x + 2 = 2 (4x + 1). Συνδυάστε αυτήν την απάντηση με την έκφραση που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα. Επομένως, έχετε βρει τους δύο παράγοντες του πολυώνυμου σας.

    2 (χ + 1) (4χ + 1).

Μέθοδος 4 Διαφορά δύο τετραγώνων

Μερικοί συντελεστές των πολυωνύμων μπορούν να αναγνωριστούν ως "τετράγωνα", δηλαδή ως προϊόντα πολλαπλασιασμού δύο αριθμών. Με τον προσδιορισμό αυτών των τετραγώνων, μπορείτε να παράγετε πολύ πιο γρήγορα μερικά πολυώνυμα. Πάρτε για παράδειγμα την εξίσωση:

27x - 12 = 0



  1. Ξεκινήστε παράγοντας τα πάντα σε έναν μεγαλύτερο κοινό παράγοντα, εάν είναι δυνατό. Στο παράδειγμά μας, βλέπουμε 27 και 12, και οι δύο διαιρούνται με το 3, έτσι μπορούμε να «ξεσπάσουμε» την αρχική έκφραση ως εξής:

    27χ - 12 = 3 (9χ - 4).



  2. Προσδιορίστε εάν οι συντελεστές της εξίσωσης σας είναι τετραγωνικοί αριθμοί. Για να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο, θα πρέπει να μπορείτε να βρείτε τετραγωνικές ρίζες για τους συντελεστές σας (σημειώστε ότι δεν θεωρούμε αρνητικά σημάδια - καθώς έχουμε να κάνουμε με τετράγωνα, μπορεί να είναι προϊόν δύο θετικών αριθμών ή αρνητικό)

    9x = 3x * 3x και 4 = 2 * 2.



  3. Χρησιμοποιώντας τις τετραγωνικές ρίζες που βρήκατε, γράψτε τους παράγοντες σας. Πάρτε τις τιμές του έχει και γ που βρέθηκε προηγουμένως - έχει = 9 και γ = 4 - πριν βρούμε την τετραγωνική ρίζα τους - √έχει = 3 και √γ = 2. Αυτοί θα είναι οι συντελεστές των φαινομένων μας:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3χ + 2) (3χ - 2)

Μέθοδος 5 Χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό τύπο

Εάν όλες οι παραπάνω μέθοδοι έχουν αποτύχει και δεν μπορείτε να βρείτε τους σωστούς παράγοντες για την εξίσωση σας, τότε χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο. Ακολουθήστε το ακόλουθο παράδειγμα:

x + 4x + 1 = 0



  1. Πάρτε τις τιμές των συντελεστών "a", "b" και "c" και αντικαταστήστε τους στον ακόλουθο τετραγωνικό τύπο:

    x = -b ± √ (b-4ac)
          ---------------------
    2α
    Στη συνέχεια λαμβάνουμε την έκφραση:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Λύστε την εξίσωση για να βρείτε x. Όπως μπορείτε να δείτε παραπάνω, θα πρέπει να λάβετε δύο τιμές x:


    x = -2 + √ (3) ή x = -2 - √ (3).



  3. Χρησιμοποιήστε την τιμή του x για να βρείτε τους παράγοντες. Εισάγετε τις τιμές του x που ελήφθησαν προηγουμένως ως σταθερές των δύο πολυωνυμικών εκφράσεων. Αυτοί θα είναι οι παράγοντες σας. κλήση h και k τις τιμές του x και γράψτε τις δύο μορφές που έχουν ληφθεί υπόψη:

    (χ - η) (χ - κ)
    Στην περίπτωση αυτή, το τελικό αποτέλεσμα είναι:

    (x - (2 + √ (3)) (x - (2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)).

Μέθοδος 6 Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή

Εάν έχετε τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή γραφικών, να γνωρίζετε ότι αυτό θα διευκολύνει σημαντικά το έργο σας, ειδικά κατά τη διάρκεια των εξετάσεων. Αυτές οι οδηγίες ισχύουν μόνο για γραφικούς αριθμομηχανές της μάρκας Texas Instrument. Πάρτε για παράδειγμα την ακόλουθη εξίσωση:

y = x - x - 2



  1. Εισάγετε την εξίσωση σας στην αριθμομηχανή. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση "resolver", δηλαδή την οθόνη.



  2. Δημιουργήστε μια γραφική παράσταση της εξίσωσης σας στην αριθμομηχανή. Αφού εισαγάγετε την εξίσωση, πιέστε - τότε θα πρέπει να δείτε τη γραφική αναπαράσταση της καμπύλης (ακριβέστερα, θα πάρετε ένα "τόξο" επειδή εργάζεστε σε πολυώνυμα).



  3. Βρείτε τα σημεία τομής του τόξου με τον άξονα x (x). Δεδομένου ότι οι πολυώνυμες εξισώσεις είναι παραδοσιακά γραμμένες στη μορφή: ax + bx + c = 0, αυτές είναι οι δύο τιμές του x για τις οποίες η έκφραση είναι ίση με μηδέν:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, χ = 2.
    • Εάν δεν μπορείτε να διαβάσετε τις τιμές όπου η καμπύλη σας διασχίζει τον άξονα x, πιέστε έπειτα. Πατήστε ή επιλέξτε "μηδέν". Μετακινήστε τον κέρσορα στα αριστερά μιας από τις διασταυρώσεις και πατήστε. Στη συνέχεια, μετακινήστε το δρομέα προς τα δεξιά αυτής της διασταύρωσης και πατήστε ξανά. Στη συνέχεια, μετακινήστε τον κέρσορα όσο το δυνατόν πιο κοντά στη διασταύρωση και πατήστε ξανά. Η αριθμομηχανή θα βρει την τιμή του x. Κάνετε το ίδιο πράγμα στη συνέχεια για την άλλη διασταύρωση.



  4. Τέλος, εισάγετε τις τιμές x που ελήφθησαν στο προηγούμενο βήμα σε έκφραση δύο παραγόντων. Αν καλέσουμε h και k οι δύο τιμές του x, τότε θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη έκφραση:

    (χ - η) (χ - κ) = 0
    Και έτσι, θα λάβουμε τους ακόλουθους δύο παράγοντες:

    (x - (-1)) (χ - 2) = (χ + 1) (χ - 2).
  • Ένα μολύβι
  • Χαρτί
  • Μια εξίσωση δεύτερου βαθμού (ή τετραγωνική εξίσωση)
  • Μια αριθμομηχανή γραφικών (προαιρετική)